Jsou zajištěné fondy opravdu tak výhodné, jak se tváří?

Nejprve stručná rekapitulace z minulého článku. Otázka v nadpisu je zkoumána na příkladě 1. zajištěného fondu ČP Invest, jehož prodej byl zahájen v srpnu 2006 a jehož základní podmínky jsou:
Doba trvání fondu: 1. 2. 2007 - 31. 1. 2012 (5 let)
Poplatek pro nákup: 1 % (1. 8. 2006 - 31. 10. 2006), 2 % (1. 11. 2006 - 31. 1. 2007)
Roční popl. správce: 0,8 %
Podkladový ukazatel: 1/3 index EuroStoxx 50, 1/3 index S&P 500, 1/3 index Nikkei 225
Podíl na výnosu: 35 %
Minimální výnos: 0 % (v Kč)
Hodnocení fondu je postaveno na modelu, který předpokládá pětiletou investici 1 miliónu korun uskutečněnou k 31. 10. 2006. K ocenění bude použita technika replikace portfoliem složeným z podkladového ukazatele, definovaného jako kombinace tří indexů (S&P 500, EuroStoxx 50, Nikkei 225), z evropské prodejní opce na tento ukazatel, která je v okamžiku vystavení při penězích (at-the-money) a z hotovosti.
Po analýze (viz minulé vydání) uzavíracích kurzů zmiňovaných tří indexů a kursů cizích měn (USD, EUR, JPY) jsme dospěli k názoru, že výpočty ale stále ještě nedostačují k odhadu volatility celého etalonu. Nejjednodušší metodou, jak odhad provést, je historická simulace. Ta spočívá v sestavení požadovaného portfolia a jeho zpětném podrobení naměřeným cenovým změnám. Koš sestavíme podle počátečních měnových kursů a hodnot indexů na začátku roku 2000 tak, aby byla mezi tři indexy rovnoměrně rozdělena určitá částka v korunách. Vzhledem k tomu, že v té době byly hodnoty indexů ⁰p^S&P = 1 469,25, ⁰p^STOXX = 4 904,46, ⁰p^NIKKEI = 18 934,34 a měnové kursy ⁰p^USD = 35,979, ⁰p^EUR = 36,130, ⁰p^JPY = 35,230/100, bude se syntetický index skládat z korunových hodnot indexů v poměru 10,84 %:3,23 %:85,92 %. Bude mít tedy počáteční hodnotu 17 194,66 Kč a do října 2006 klesne na 9 742,91 Kč, což je dáno především silným zhodnocováním koruny (daný koš měn se ročně znehodnocoval o r^FX = -6,35 %). V tuto chvíli nám nejde o predikci výkonnosti (ta je v ročním vyjádření r^IDX = -8,32 %, přičemž hlavní příčinou ztráty je zhodnocování koruny, vliv má i pokles dotyčných indexů), ale o odhad volatility, která činí σ^IDX(K) = 18,21 %.
Pro přehlednost uvádíme všechny naměřené hodnoty v Tabulce 1. Jak se dalo očekávat, díky diverzifikaci portfolia IDX(K), které je z pohledu ocenění nejzajímavější, je jeho volatilita podstatně nižší než jsou volatility každého z indexů v individuálním vyjádření (v korunách).
K bližšímu prozkoumání tohoto efektu jsme rovněž spočítali korelační koeficienty mezi všemi proměnnými veličinami. Tato analýza ukázala velmi nízkou korelaci mezi kursy měn a indexy (všeobecně známý jev) v rozmezí ρ ∈ <-0,10; 0,12>, ale značnou pozitivní korelaci mezi měnovými kursy (ρ ∈ <0,37; 0,67>), a také mezi indexy (ρ ∈ <0,35; 0,76>). Podmínka, že je etalon počítán v korunách, tedy nemusí volatilitu (tzn. hodnotu opce) nijak výrazně ovlivňovat.
Celkově lze říci, že volatilitu akciového portfolia snižuje zejména zařazení indexu Nikkei 225, naopak skutečnost, že se hodnota fondu počítá v korunách, představuje prakticky nezávislé riziko. Z toho mimo jiné vyplývá, že by se srovnatelného efektu s korunovým fondem dalo v rámci portfolia docílit koupí samotných indexů spolu s termínovými kontrakty na cizí měnu, což by při vysoké likviditě na mezinárodních trzích výrazně snížilo transakční náklady pro přímého investora.

Ocenění fondu
Na základě výše uvedených dat se lze pokusit o ocenění uvedeného fondu. Jeho hodnota se skládá ze současné hodnoty podkladového aktiva, bezrizikové investice a opce. Předpokládáme investici I = 1 mil. Kč, počítáme s podílem na výnosu etalonu D = 35 % za pět let, tzn. t = 5.
Hodnota podkladového aktiva je V^A = D I = 350 000 Kč.
Při sazbě r = 3,38 % a budoucí hodnotě F = (1-D) I = 650 000 Kč je hodnota bezrizikové investice V^B = F e^-rt = (1-D) I e^-rt = 548 931 Kč.
Opce musejí pokrýt současnou hodnotu podkladového aktiva D I = 350 000 Kč. Vzhledem k tomu, že aktuální cena jednotky syntetického indexu je p = 3 217,88 Kč, je takových opcí třeba vystavit N = D I / p = 108,77.
Pro ocenění opce použijeme Mertonovu formulaci Blackova-Scholesova modelu, která zohledňuje předpokládané průběžné zhodnocování investice y. Tu lze vyjádřit například následující sérií rovnic, kde N(x) je hodnota distribuční funkce normovaného normálního rozdělení:
V^C = p e^{-yt N(d}1) - S e^{-rt N(d}2)
d¹ = [ln(p/S) + (r - y + σ²/2) t] / (σ √t)
d² = d¹ - σ √t

Vycházíme z okamžité ceny podkladového aktiva p = 3 217,88 Kč, volatility σ = 18,21 %, uplatňovací ceny S = 3 217,88 Kč, doby do uplatnění t = 5 a bezrizikové míry výnosu r = 3,38 %.
Jako určitý problém se jeví odhad očekávaného výnosu etalonu y. Na něj proto aplikujeme několik scénářů.
I) Použijeme historický odhad výnosu IDX (K), ze kterého vyplývá y^I = -8,32 %.
V tomto případě vychází hodnota prodejní opce V^PI = 49,38 Kč, a tedy hodnota investice do fondu V^I = V^B + V^B + N V^PI = 904 302 Kč. Odhad není patrně příliš realistický, protože ve sledovaném období došlo k historicky velmi neobvyklému poklesu hodnoty koše indexů, a současně k silnému zhodnocení koruny. Proto vyzkoušíme další scénáře.
II) Předpokládáme nulový očekávaný výnos IDX (K), tzn. y^II = 0 %.
Tento scénář lze interpretovat například tak, že se koruna bude nadále zhodnocovat dosavadním tempem 6,35 % ročně, ale stejným tempem se budou zhodnocovat i akciové indexy. Pak bude hodnota prodejní opce V^PII = 268,58 Kč a hodnota fondu V^II = 928 143 Kč.
III) Očekávaný výnos etalonu odpovídá y^III = 5 %.
K tomu může dojít pokud se například růst hodnoty indexů bude držet na 8 % ročně a zhodnocování koruny se výrazně zpomalí na 3 % ročně. Tento scénář považujeme v pětiletém horizontu za mezní, protože ekonomické analýzy naznačují, že v horizontu plánovaného vstupu do eurozóny by měla česká koruna nadále posilovat. Hodnota opce bude V^PIII = 535,27 Kč a hodnota investice do fondu V^III = 957 151 Kč.

Diskuse výsledků
Z výše uvedených výpočtů je zřejmé, že při všech uvažovaných scénářích očekávaného výnosu investičního etalonu je hodnota investice do zajištěného fondu výrazně nižší než investovaná částka. Tento rozdíl byl kvantifikován v rozmezí od 95 600 Kč (tj. 9,56 % investice ve scénáři I) do 42 800 Kč (4,28 % investice ve scénáři III). Vzhledem k tomu, že veškeré transakční náklady jsou zahrnuty v poplatcích za správu, lze ho chápat jako marži, kterou investor platí v důsledku neefektivity trhu.
Je zřejmé, že při pevné hodnotě bezrizikového výnosu může hodnota fondu dále záviset na hodnotě implicitní volatility. Pokud ji při nulovém očekávaném zhodnocení (srov. scénář II) dáme rovnu 20 %, bude hodnota fondu rovna 932 785 Kč, při σ = 25 % pak 945 911 Kč. Je vidět, že tato veličina (v rozumných mezích) odhad rozhodujícím způsobem neovlivní. Dokonce i v krajním případě, kdy by byl implicitní výnos podkladového aktiva 5 %, a implicitní volatilita byla současně 25 %, bude investor stále muset počítat se ztrátou 2,64 % ze své investice.
Z opačného pohledu lze zkoumat, jaký by měl být při různých scénářích "spravedlivý" podíl investora na výnosu etalonu. Simulací zjišťujeme, že tento podíl by mohl činit až poměrně extrémní 91 % (očekávané znehodnocení indexu -8,32 % a volatilita 18,21 %), v rozumnějších scénářích (nezměněná volatilita, zhodnocení 0 %, resp. 5 %) pak 65 % nebo 48,3 %. K nabízené hodnotě D = 35 % se dostaneme až při implicitním zhodnocování etalonu o 10,75 % (Je třeba si uvědomit, že jde o logaritmický výnos, odpovídající anualizovanému aritmetickému výnosu 11,35 % - tedy pětiletému nárůstu o 71 %, který by snad bylo možné rozumně očekávat jen při devalvaci koruny.) a k dolnímu meznímu podílu D^min = 15 %, uvedenému v emisních podmínkách, se s pomocí daného oceňovacího modelu nemůžeme dostat prakticky nikdy. I očekávané roční zhodnocování o 100 % a volatilita 50 % stále ještě dává "spravedlivý" podíl 15,65 %. (Z toho vyplývá, že pokud se správce tímto ustanovením v emisních podmínkách snažil bez jakýchkoliv zábran eliminovat riziko, které by mohl nést z případné extrémní a nárazové změny tržních parametrů, pak se mu to podařilo opravdu dokonale.)
Výsledky vybraných scénářů očekávaných výnosů a volatilit shrnujeme v Tabulce 2.
Alternativně k vyššímu "spravedlivému" podílu na výnosu by bylo možné uvažovat i o nabídce vyššího minimálního zhodnocení fondu než nulového. Změna ocenění by spočívala pouze ve zvýšení uplatňovací ceny opce. Například při scénáři II by tak bylo možné nabídnout uplatňovací cenu až do výše S^II = 4 542,09 Kč, což by odpovídalo slibu zhodnocení celé investice o y^minII = N (S^II - p) / I = 14,4 %. Při scénáři III by bylo dosaženo rovnováhy při S^III = 3 853,30 Kč, a tedy y^minIII = 6,9 %.
Otevřenou jsme zatím ponechali otázku transakčních nákladů. V zásadě vždy platí, že náklady třetích stran nenese správce, ale jsou účtovány klientovi z hodnoty fondu. To by se v praxi týkalo i případných vícenákladů oproti běžnému akciovému fondu, způsobených například zajišťovacími obchody. Zajištěný fond tyto náklady na vrub portfolia účtuje, v případě absolutní ztráty však přesto nakonec vyplácí původní hodnotu investice. Transakční náklady nebo jejich část jsou tedy fakticky pokryty zárukou a ptáme se, jak by ovlivnily hodnotu fondu.
Tuto podmínku lze opět celkem snadno simulovat úpravou podmínek opce. Vycházejme zde ze scénáře III (y = 5 %, σ = 18,21 při podílu na výnosu D = 35 %) a předpokládejme, že by tyto roční vícenáklady, rozpuštěné v případě zisku ve výnosu investora, činily c = 1 % z hodnoty akciové části portfolia. (Hodnotu, která je velmi vysoká a lze ji chápat jako aproximaci velmi neefektivního trhu, uvádíme jako roční spojitou a obecněji by ji bylo možné interpretovat jako ztrátový - frikční - faktor daného systému.) To ovšem znamená, že investor obdrží nižší budoucí hodnotu akciového portfolia (namísto očekávaných F^A = D I e^yt = 449 408,90 Kč pouze F'^{A = D I e}y-ct = 427 490,97 Kč, což je ze současného pohledu ztráta C = (F^A' - F^A) e^-rt = -18 509,89 Kč). Přitom však uplatňovací cena prodejní opce, kterou obdržel od správce, bude S' = S e^ct = 3 382,86 Kč (Opce bude v tomto případě uplatněna i v případě růstu hodnoty podkladového ukazatele o 1 % ročně.), takže její hodnota vzroste z V^P = 535,27 Kč na V^P' = 629,84 Kč. Opcí musí být N = D I / p = 108,77, jejich hodnota tedy bude rovna N V_P' = 68 506 Kč, což je o D = N (V^P' - V^P) = 10 286 Kč více než za situace bez transakčních nákladů.
Protože nyní počítáme s výdaji, které jdou mimo uzavřený systém, musíme hodnotu fondu určit zvlášť z hlediska investora a správce. Investor oproti původně odhadnuté hodnotě fondu V_III = 957 151 Kč získá navíc rozdíl v hodnotě opce D, ale musí uhradit hodnotu transakčních nákladů, takže V^INV = V^III + D - C = 948 927 Kč. Správce jen poskytuje cennější opci, takže z jeho pohledu je hodnota prodávaného fondu V^MGR = V^III + D = 967 437 Kč. Při velikosti investice I = 1 000 000 Kč tak investor hradí marži (V^INV - I) / I = -5,11 %, ve prospěch správce jde (I - V^INV) / I = 3,26 %.
Je zřejmé, že stávající podmínky fondu nelze pro investora považovat za nikterak výhodné, marže, které za něj platí, jsou na vyspělých trzích jen obtížně dosažitelné. Je třeba si uvědomit, že správce navíc účtuje poplatky, které jsou vyšší než u indexových akciových fondů.

Citlivost hodnoty fondu na strukturální parametry
Obdobné výpočty a navazující úvahy by samozřejmě bylo možné provést i u dalších produktů ze širokého spektra zajištěných fondů. Zde jen s využitím vytvořeného modelu odhadneme, jaké další parametry mohou přispívat ke snižování jejich hodnoty, aniž by to bylo pro nepoučeného investora příliš zřejmé.
Triviální je snižování volatility podkladového ukazatele, k čemuž může napomoci diverzifikace portfolia, konstituujícího etalon. Porovnáme-li hodnotu sledovaného fondu v historickém scénáři I, která činí V = 904 302 Kč, s fondy, u kterých by byly za shodných podmínek zvoleny za etalony jednotlivé akciové indexy (opět v korunovém vyjádření), pak by byla hodnota těchto "alternativních" fondů V^S&P = 908 700 Kč, V^STOXX = 912 783 Kč, resp. V^NIKKEI = 907 976 Kč. Efekt je dobře patrný, vlivem korelací mezi indexy však není nijak zvlášť velký. Původní marže 9,57 % se sníží na 8,72 % (u Stoxx 50) až 9,20 % (u Nikkei 225).
Další možností je prodloužení investičního horizontu. Vzhledem k tomu, že volatilita roste v čase podle pravidla druhé odmocniny, vede to významnému zlevňování opce vzhledem k roční výkonnosti. Tento důsledek ukážeme na modelovém příkladu v tržním scénáři II (očekávaný výnos etalonu 0 %, volatilita 18,21 %) za předpokladu rovnovážného podílu na výnosu 65,07 %, kde jen prodloužíme životnost fondu z pěti na šest let. Hodnota fondu poklesne na 990 840 Kč, čímž vznikne z nuly marže 0,92 %.

Vliv omezení maximálního výnosu není v žádném případě zanedbatelný
Některé fondy též ve svých emisních podmínkách stanoví omezení maximálního připisovaného výnosu ve prospěch investora. To se může zdát na první pohled neškodné, vliv takového opatření na hodnotu fondu však vůbec není zanedbatelný. Předpokládejme opět rovnovážně oceněný pětiletý fond v předchozím odstavci (implicitní tržní scénář II, podíl na výnosu D = 65,07 %), do jehož podmínek je však přidáno ustanovení, podle kterého nepřesáhne podíl na výnosu 50 % za celé pětileté období (v aritmetickém vyjádření).
Investor tedy, jinými slovy, neobdrží za pět let výplatu přesahující 1 500 000 Kč. Příjem 349 300@e^{3,38 % x 5} = 413 613,17 Kč je jistý (z bezrizikového aktiva), zbývá 1 086 386,83 Kč, představující maximální možnou budoucí hodnotu N = 650 700 / 3 217,88 = 202,21 kusů podkladového ukazatele. Situaci lze vyjádřit tak, že investor vystavuje ve prospěch správce 202,21 kupních opcí na podkladový ukazatel s uplatňovací cenou S = 1 086 386,83/202,21 = 5 372,57 Kč.
Hodnota takové opce je 170,88 Kč. Celková hodnota fondu se tedy sníží o 170,88 x 202,21 = 34 553,64 Kč, čímž vznikne marže 3,46 % z počáteční investice.

Tabulka 1 Historický výnos a volatilita dílčích a souhrnných ukazatelů

Tabulka 2 Hodnota fondu, marže a rovnovážný podíl na výnosu při různých scénářích


Jan Vlachý
Autor je doktorandem na Vysoké škole ekonomické v Praze